Extending Piecewise Polynomial Functions in Two Variables

We study the extensibility of piecewise polynomial functions defined on closed subsets of R2 to all of R2. The compact subsets of R2 on which every piecewise polynomial function is extensible to R2 can be characterized in terms of local quasi-convexity if they are definable in an o-minimal expansion of R. Even the noncompact closed definable subsets can be characterized if semialgebraic function germs at infinity are dense in the Hardy field of definable germs. We also present a piecewise polynomial function defined on a compact, convex, but undefinable subset of R2 which is not extensible to R2. RÉSUMÉ. Nous étudions l’extensibilité des fonctions polynôme par morceaux définie sur des sous-ensembles fermés de R2 à tout de R2. La sous-ensembles compacts de R2 sur lequel chaque fonction polynôme par morceaux est extensible à R2 peut être caractérisé en termes de quasi-convexité locaux si elles sont définissables dans une expansion o-minimale de R. Même les sous-ensembles non compactes fermés définissables peut être caractérisée si les germes de fonctions semialgébrique á l’infini sont denses dans le corps de Hardy des germes définissables. Nous présentons également une fonction polynôme par morceaux définie sur un sous-ensemble compact, convexe, mais indéfinissable de R2, ce qui n’est pas extensible á R2.